복소해석학에서 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결 열린집합 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다.
유계 연결 열린집합
의 경계
가 유한 개의 조각마다
곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수
가
에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:84
![{\displaystyle \int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28a378bfece6aaa21ae33e6a80df9ef78f73d40)
이에 따라, 단일 연결 열린집합
위의 정칙 함수
의, 임의의 두 점
사이의 경로 적분
![{\displaystyle \int _{z'}^{z''}f(z)\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e12b35f80f6ad499833ebe8a457b51be2a1707c)
는 경로
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D\qquad (\gamma (a)=z',\;\gamma (b)=z'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0430dbd62f9ff26ec9af8ad7a5c8802cda12c2)
의 선택에 의존하지 않는다.
도함수
가
의 어떤 근방
에서 연속 함수임을 가정할 경우,[1]:84-85
![{\displaystyle f=u+iv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7148e86925ee6aee1dcbe13412b46d9b85620f3)
인
를 취하자. 그렇다면, 그린 정리와 코시-리만 방정식에 의하여,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z&=\int _{\partial D}(u+iv)(\mathrm {d} x+i\mathrm {d} y)\\&=\int _{\partial D}(u\mathrm {d} x-v\mathrm {d} y)+i\int _{\partial D}(u\mathrm {d} y+v\mathrm {d} x)\\&=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y+i\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979a68d7c974f58172d4ddf8d2f85c027d3cd002)
이다.
삼각형 열린집합에 대한 코시 적분 정리의 증명 도해
위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선
가 삼각형 열린집합인 경우를 보이자.[1]:85-87
귀류법을 사용하여,
![{\displaystyle \int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd58806a42ccef21c569363b96a053affdd17854)
이라고 가정하자.
라고 하고, 삼각형 열린집합
의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 열린집합
를 생각하자. 그렇다면,
![{\displaystyle \int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z=\sum _{k=1}^{4}\int _{\partial T_{k}}f(z)\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820bff04c89437dc975911dfcb1562a259eb2456)
이므로,
![{\displaystyle \left|\int _{\partial D_{1}}f(z)\mathrm {d} z\right|\geq {\frac {1}{4}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ced6794ee49749ca0b72eec58154783f01b24ac)
인
가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 열린집합의 열
을 얻는다.
![{\displaystyle D_{n}\subseteq D_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eeaa6467e64881509ce5843ada65e9f74a0fe49)
![{\displaystyle \operatorname {diam} D_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {diam} D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ad48faae9cf5d05dc73996ff962b730302d609)
![{\displaystyle \int _{\partial D_{n}}|\mathrm {d} z|={\frac {1}{2^{n}}}\int _{\partial D}|\mathrm {d} z|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea96d4b8f45180bd1eaace2b7d37c792800a14ae)
![{\displaystyle \left|\int _{\partial D_{n}}f(z)\mathrm {d} z\right|\geq {\frac {1}{4^{n}}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|\qquad (n\in \{1,2,\dots \})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5d9305c45ef25e0b1d8de870af3f37c02ec294)
따라서,
![{\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }D_{n}=\{z_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb229012f1cfff15126949c83fc92fa0db5cb98)
인
가 존재하며, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0<{\frac {1}{4^{n}}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|\leq \left|\int _{\partial D_{n}}f(z)\mathrm {d} z\right|&=\left|\int _{\partial D_{n}}(f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0}))\mathrm {d} z\right|\\&\leq \max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|\cdot \operatorname {diam} D_{n}\cdot \int _{\partial D_{n}}|\mathrm {d} z|\\&={\frac {1}{4^{n}}}\max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|\cdot \operatorname {diam} D\cdot \int _{\partial D}|\mathrm {d} z|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeefafe9fbd0e155a807fb211e016d992394ed56)
이다.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935db42cb45cf613b95c5c0bb72e219a3eba6620)
이므로, 이는 모순이다.
이제, 일반적인 경우를 보이자.
는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상
가 단일 연결 열린집합이라고 가정하자.
임의의
에 대하여,
는 균등 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 다각형 열린집합
가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {cl} {\tilde {D}}\subseteq D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c969a8c51d714828fc96a84bd732c4aa0de7e84e)
![{\displaystyle \left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z-\int _{\partial {\tilde {D}}}f(z)\mathrm {d} z\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71307d751d5145705ca0d8fb5c4608e98253a4b7)
다각형 열린집합
는 유한 개의 삼각형 열린집합의 합집합으로 분할되므로,
![{\displaystyle \int _{\partial {\tilde {D}}}f(z)\mathrm {d} z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbe459de907908b828e437440f23944b383e34d)
이며, 따라서
![{\displaystyle \left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d14064c8055a1013e270509dd61f2ee06f0772b)
이다.